Curriculum di Barbara Torti
Dati personali
_ Nata a Colleferro (RM) il 16/04/1967.
_ Posizione attuale: ricercatore, settore Mat/06, afferente al Dipartimento
di Matematica dell’Università di Roma Tor Vergata dal 1 novembre
2002.
_ Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma Tor Vergata
Via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma.
Telefono 0672594627 fax: 72594699 e-mail: torti@mat.uniroma2.it
Titoli di studio
_ Laurea in Matematica, Universit`a degli Studi di Roma “La Sapienza”
il 24/01/95
_ Dottorato di Ricerca in Statistica Matematica, Università degli Studi
di Pavia (XIII ciclo). Titolo della tesi: Diffusive approximations
for queueing network models: results and conjectures about the filter
convergence. Relatori: Prof.ssa Anna Gerardi, Prof.ssa Giovanna
Nappo
Borse di studio
_ Titolare di un assegno di ricerca presso il Dipartimento di Matematica
dell’Università di Studi di Roma La Sapienza, titolo della ricerca:
Processi di conteggio, filtraggio e relative applicazioni (1 Maggio 2002,
30 ottobre 2002)
Convegni e seminari
_ Workshop on Nonlinear filtering:Uniqueness and Approximation Techniques
for Solutions of Filtering Equations - 14, 15 Gennaio 1999, Università de L’Aquila.
_ 21st Midwest Probability Colloquium 22, 23 Ottobre 1999, University
of Cincinnati (USA).
_ 27th Conference on Stochastic Processes and their Applications - 9, 13
Luglio 2001, University of Cambridge (UK).
_ Processi Stocastici, Calcolo Stocastico ed Applicazioni, Pisa, 13-14
Settembre 2001, comunicazione dal titolo: Filtering of a Brownian
motion with respect to its local time.
_ 2001 Seminario dal titolo Approssimazioni diffusive per processi di code:
qualche risultato di convergenza di filtri - Dipartimento di Matematica,
Politecnico di Milano.
_ 2002 Seminario dal titolo Legge condizionale di un random walk a tempo
continuo rispetto al suo tempo locale: calcolo esatto ed approssimato-
Dipartimento di Matematica, Università di Roma La Sapienza.
_ Filtering Theory and Applications, comunicazione dal titolo The filter
of a continuous time random walk with respect to its local time- 25, 30
Luglio 2002, University of Alberta (CANADA).
_ Stochastic Processes, Stochastic Calculus and Applications - 19, 20
Settembre 2002, Universit`a di Roma La Sapienza.
_ Convegno Processi Stocastici ed Applicazioni- Bologna 15, 17 Settembre
2003
_ 2007 Seminario dal titolo Problemi di approssimazione per filtri di
processi di code: risultati e congetture.- Dipartimento di Matematica,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Stochastic processes: theory and applications - A conference in honor
of the 65th birthday of Wolfgang J. Runggaldier - Bressanone 16 - 20
Luglio, 2007
_ Metodi Stocastici in Finanza Torino, 3-5 luglio 2008
_ XIII workshop on quantitative finance - L ’Aquila 26- 27 gennaio 2012
_ ”Probability & Finance” Final Conference of the Research Project
PRIN 2008
Pescara, 10-12 Settembre 2012
Soggiorni all'estero
_ Da giugno 1999 ad agosto 2000 ha frequentato l’Università di Madison-
Wisconsin (USA) per approfondire alcuni aspetti della sua tesi di
dottorato sotto la guida del Prof. Thomas G. Kurtz.
Attività didattica
_ Esercitazioni del corso Metodi Probabilistici, Statistici e Processi Stocastici
(titolare Prof. B. Bassan ), a.a. 1995/96, Politecnico di Milano.
_ Esercitazioni del corso Metodi Probabilistici, Statistici e Processi Stocastici
(titolare Prof. B. Bassan ),a.a. 1996/97, Politecnico di Milano.
_ Esercitazioni del corso Statistica Descrittiva (titolare Prof. A. Barchielli),
a.a. 1996/97, Politecnico di Milano.
_ Esercitazioni del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica, (titolare
Dott. M. Abundo) a.a. 2002/03, Facoltà di Ingegneria, Università di
Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.
2002/03, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.
2004/05, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Analisi Matematica 1 , a.a. 2006/07, Facoltà di
Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.
2006/07, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Analisi Matematica 1 , a.a. 2007/08, Facoltà di
Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.
2007/08, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Analisi Matematica 1 , a.a. 2008/09, Facoltà di
Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.
2008/09, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica
in Ingegneria Informatica a.a. 2008/09, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Esercitazioni del corso Equazioni differenziali stocastiche Laurea specialistica
in Ingegneria Matematica a.a. 2008/09, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.
2009/10, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica
in Ingegneria Informatica a.a. 2009/10, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Esercitazioni del corso Equazioni differenziali stocastiche Laurea specialistica
in Ingegneria Matematica a.a. 2009/10, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica
in Ingegneria Informatica a.a. 2010/11, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Esercitazioni del corso Equazioni differenziali stocastiche Laurea specialistica
in Ingegneria Matematica a.a. 2010/11, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica
in Ingegneria Informatica a.a. 2011/12, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Probabilità e Statistica Laurea triennale in Ingegneria
Civile, Ambiente e Territorio a.a. 2011/12, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica
in Ingegneria Informatica a.a. 2012/13, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
_ Titolare del corso Probabilità e Statistica Laurea triennale in Ingegneria
Civile, Ambiente e Territorio a.a. 2012/13, Facoltà di Ingegneria,
Università di Roma Tor Vergata.
Attività di ricerca
Nella tesi di laurea [1] ha preso in esame l’evoluzione temporale di un sistema
di particelle in particolari condizioni di simmetria (scambiabilità) usando
sistematicamente l’approccio di rappresentare tale evoluzione come un
processo a valori nello spazio delle relazioni di equivalenza su un insieme
assegnato.
È stato possibile approssimare il comportamento asintotico del processo considerato
con un processo noto come “processo coalescente”.
In [2] si forniscono condizioni sufficienti per la convergenza debole dei processi
genealogici al coalescente realizzandoli su un opportuno spazio di funzioni.
Con questa stessa tecnica è stato ottenuto un risultato di convergenza forte
per l’età di un campione in esame.
Inoltre il processo coalescente per ogni tempo fissato t è una variabile aleatoria
a valori nello spazio delle relazioni di equivalenza la cui legge ha una
struttura standard.
In [3] è dato un teorema di rappresentazione per la legge delle variabili aleatorie
di cui sopra.
Utilizzando ancora tecniche specifiche relative a successioni di variabili aleatorie
scambiabili, ha successivamente studiato un modello di interesse in
teoria dell’affidabilità. Più precisamente si considera una popolazione i cui
individui sono suddivisi, relativamente alla loro capacità di sopravvivenza,
in tipi diversi, quando la suddivisione in tipi non è direttamente osservabile
([4], [5]).
È stata inoltre esaminata la possibilità di riformulare il modello facendo uso
della nozione di relazione di equivalenza scambiabile [6].
Si è poi studiata, con tecniche di filtraggio, la distribuzione della vita residua
degli individui sopravvissuti avendo osservato una storia di guasti e
sopravvivenze [7].
Si è successivamente occupata di problemi di filtraggio di code con particolare
attenzione al problema della convergenza debole del filtro della coda
quando l’osservazione è un processo di salto multivariato la somma delle cui
componenti riproduce il processo delle partenze.
In [8], sotto usuali condizioni di heavy traffic, per una opportuna trasformazione
lineare di questo modello stato-osservazione, è stata dimostrata
l’esistenza del limite debole e se ne è calcolata l’espressione. Nel modello
limite lo stato è un moto browniano riflesso il cui tempo locale compare in
tutte le componenti dell’osservazione.
Il passo successivo è studiare l’eventuale convergenza debole del filtro del
modello stato-osservazione introdotto al filtro dei relativi limiti. A questo
modello non si applicano risultati noti relativi alla convergenza debole delle
leggi condizionali (Goggin, 1994, 1997). È inoltre impossibile calcolare
direttamente il limite debole di una delle equazioni che il filtro soddisfa, e
quindi applicare i risultati di Kurtz e Protter (1991), perchè alcuni processi coinvolti nelle equazioni non sono tight. Questa mancanza di regolarità
è strettamente connessa alla struttura del supporto del tempo locale dello
stato limite. Inoltre, come già osservato, questo tempo locale compare nel
limite debole dell’osservazione. Questa peculiarità ha reso interessante il
problema del calcolo della stima del filtro di un moto Browniano quando
l’osservazione è il suo tempo locale al livello 0.
In [9] si studia il problema della determinazione del filtro di un moto Browniano
Wt data l’osservazione del suo tempo locale ?s, per s ≤ t. A questo
scopo si costruisce una opportuna approssimazione del filtro, ottenuta approssimando
l’osservazione tramite un processo di interpolazione, e se ne
fornisce l’espressione esplicita. Utilizzando poi un teorema che garantisce
che il filtro approssimato converge al filtro originale q.o. e nella norma L1,
si determina quest’ultimo calcolando il limite del filtro approssimato. Vengono
infine discusse alcune connessioni con la martingala di Azéma.
Questo filtro è il naturale candidato per approssimare il filtro di una coda
rispetto al suo tempo locale.
In [10] si fornisce l’espressione esplicita del filtro di una passeggiata aleatoria
a tempo continuo rispetto al suo tempo locale. Questo filtro si calcola poi
in modo esplicito nel caso in cui lo stato `e una particolare approssimazione
del moto Browniano e quando la passeggiata aleatoria riflessa è una coda
M/M/1. In entrambi i casi si dimostra un risultato di convergenza debole
del filtro al filtro di un moto Browniano rispetto al suo tempo locale. Questo
risultato di convergenza si estende poi al caso del filtro di una coda M/M/1
quando si osserva il suo idle time, ovvero il tempo totale passato dalla coda
a livello 0.
Attualmente si occupa della proprietà di rappresentazione per le martingale
su uno spazio di probabilità filtrato. Questa proprietà è intimamente legata
alla filtrazione di riferimento, ovvero può o meno valere su uno spazio
di probabilità a seconda della filtrazione considerata. In particolare, assumendo
che la rappresentazione valga rispetto ad una filtrazione assegnata,
si vuole indagare circa la possibilità che tale proprietà si perda quando si
consideri sullo spazio di partenza un filtrazione più grande o più piccola.
Risultati parziali sono esposti in [11] dove, per una semi-martingala generale,
si analizza il problema della perdita della proprietà di rappresentazione
prevedibile a causa di opportuni allargamenti della filtrazione di riferimento.
Situazioni di allargamento generali sono oggetto di studio recente. Naturalmente
questi risultati si applicano all’analisi della completezza dei mercati
finanziari in relazione al flusso di informazione disponibile sul mercato.
Riferimenti bibliograci
[1] B. Torti. Applicazioni della scambiabilità alla genetica delle popolazioni
neutrali. Tesi di Laurea - Università di Roma “La Sapienza”, 1995.
[2] B. Torti. Processi genetici: un teorema di approssimazione per modelli
markoviani a tempo discreto. Technical report, Università di Roma “La
Sapienza”, 1996.
[3] B. Torti. Struttura delle relazioni di equivalenza scambiabili. Technical
report, Università di Roma “La Sapienza”, 1996.
[4] A. Gerardi, F. Spizzichino, and B. Torti. Some probabilistic aspects
of heterogeneous populations. Proc. of the workshop “modellistica dei
sistemi biomedici”, CISB, Univ. di Roma “La Sapienza”, 1996.
[5] A. Gerardi, F. Spizzichino, and B. Torti. Exchangeable mixture models
for lifetimes: the role of occupations numbers. Stat. Prob. Lett.,
49(4):365–375, 2000.
[6] Anna Gerardi and Barbara Torti. Symmetric models for lifetimes: the
role of exchangeable equivalence relations. Boll. Unione Mat. Ital. Sez.
B Artic. Ric. Mat. (8), 6(1):111–123, 2003.
[7] A. Gerardi, F. Spizzichino, and B. Torti. Filtering equations for the
conditional law of residual lifetimes from a heterogeneous population.
J. Appl. Probab., 37(3), 2000.
[8] B. Torti. Diffusive approximation for a single station queue with
multitype departure process. Manuscript.
[9] Giovanna Nappo and Barbara Torti. Filtering of a reflected Brownian
motion with respect to its local time. Stochastic Process. Appl.,
116(4):568–584, 2006.
[10] Giovanna Nappo and Barbara Torti. Continuous time random walks
and queues: explicit forms and approximations of the conditional law
with respect to local times. Stochastic Process. Appl., 116(4):585–610,
2006.
[11] Torti B. Calzolari A. Enlargement of filtration and predictable
representation property for semi-martingales. working paper.
Education
- Laurea in Matematica, Università degli Studi di Roma “La Sapienza” (1995)
- PhD in Mathematical Statistics, Università degli Studi di Pavia (2002).
Title: Diffusive approximations for queueing network models: results and conjectures about the filter convergence (supervisor Prof. A.Gerardi)
Academic position
Assistant Professor of Probability and Mathematical Statistics, Università di Roma Tor Vergata
since November 1, 2002.
Research activity
At the beginning the research was focused on stochastic exchangeable models for genetic population processes and their approximation problem: in this setting the structure of probability laws of the limit model was investigated.
Then the research was focused on several aspects of a special type of exchangeable distributions. These distributions arise when a population is divided into different subpopulations, each characterized by a different lifetime distribution, and there is a symmetric dependence among categories of single individuals. In this setting, by using nonlinear filtering techniques, has been derived the conditional distribution of residual lifetimes of surviving individuals, given an observed history of failures and survivals.
In the sequel the research focused on a problem of convergence for conditional laws in a singular filtering setting (i.e. the observation process is a deterministic functional of the state): the state is a queueing model and the observation is its idle time. For this model has been derived an explicit construction of the filter and its weak limit. She is currently studyingthe problem of representation of martingales in terms of sums of stochastic integrals with respect to a suitable sequence of martingales, when considering different filtrations on the reference probability space under consideration.